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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 4

Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir encontre as coordenadas cartesianas no ponto.

  1. ( - 2 ,   5 π 4 )
  2. ( 1 ,   5 π 2 )
  3. ( 2 ,   - 7 π 6 )

Passo 1

Usando o exercício anterior definimos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

Então, primeiro desenhando as coordenadas polares temos um raio - 2 negativo e o ângulo de 225 ° , equivalente a 45 ° em relação aos eixos no 3º quadrante ( 225 ° + 45 = 270 ° ) . Para achar o ponto agora é só inverter para o quadrante oposto e aí o ponto vai ficar a 45 ° no 1 º quadrante com raio 2 . Vamos confirmar com as coordenadas cartesianas?

x   = - 2   ∙   c o s 225 °              

y   = - 2   ∙   s e n ( 225 ° )

Para x , sabendo que:

cos ⁡ 225 ° = - cos ⁡ 45 °

Com isso

x   = - 2   ∙   c o s 45              

x   = - 2   ∙   - 2   2                  

x   = 4   2   = 2 2 = 1

x = 1                

Para y , sabemos que:

sen ⁡ 225 ° = - s e n   ( 45 ° )

Com isso

y   = - 2   ∙   s e n ( 45 )

y   = - 2   ∙   - 2 2

y   = 4   2   = 2 2 = 1

y = 1                

Então as coordenadas seriam x = 1   e   y = 1 .

Passo 2

Na letra (b) o raio é 1   e o ângulo igual a 45 ° . Subtraindo uma volta do círculo trigonométrico, ficamos com 9 0 ° . Então se quisermos simplificar nossa conta já consideramos que x = 0 . Como o raio é 1 , sabemos que a coordenada do ponto será ( 0,1 ) .

Para x :

x   = 1   ∙ cos ⁡ 90 °        

cos ⁡ 90 ° = 0      

x = 0

Para y :

y   = 1   ∙   s e n ( 90 ° )

s e n   90 ° = 1

y = 1

Então as coordenadas seriam x = 0   e   y = 1 .

Passo 3

Na letra (c) temos o raio 2 e ângulo de   - 210 ° , ou seja, - 30 ° com relação ao eixo x no 2 º quadrante. Assim sabemos onde o ponto está e podemos confirmar transferindo para as coordenadas cartesianas:

Para x :

x   = 2   ∙   c o s - 210 °        

Sabemos que cos ⁡ - 21 ° = - cos ⁡ 30 °

x   = 2   ∙   c o s 30 °        

c o s   3 0 = - 3 2

x   = 2   ∙   - 3 2                          

x = - 3

Para y :

y   = 2   ∙   s e n ( - 210 ° )

Sabendo que sen ⁡ - 210 ° = s e n   30 ° .

y   = 2   ∙   s e n ( 30 ° )

s e n   30 ° = 1 2

  y   = 2   ∙   1 2

  y = 1

Então as coordenadas seriam x = - 3   e   y = 1 .

Resposta

  1. ( 1 ,   1 )
  2. ( 0,1 )
  3. ( - 3 ,   1 )
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