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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 16

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y 2   d S

S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 e acima do plano x y .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo certo?

A questão quer o valor da integral:

∫ ∫ S   y 2   d S

S é a parte da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 4

que está dentro do cilindro

x 2 + y 2 = 1

e acima do plano x y .

Bom, para isso calcularmos a integral de superfície podemos usar a equação:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f x , y , g x , y d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d A

Então, vamos precisar achar as derivadas parciais da nossa função f x , y , z , dada no enunciado. Daí, é só escrevermos nossa região D como uma integral dupla e resolver nossa integral.

Passo 2

Galera, nesse caso podemos olhar z como uma função de x e y , pois

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Isolando z :

z = ± 4 - x 2 - y 2

Porém, como a superfície está acima do plano x y , temos z ≥ 0 e podemos considerar somente a solução positiva:

z x ,   y = 4 - x 2 - y 2

Calculando as derivadas parciais da nossa função:

  • Derivando em x , tratando y como constante:

    • ∂ z ∂ x = ∂ 4 - x 2 - y 2 ∂ x = - x 4 - x 2 - y 2

  • Derivando em y , tratando x como constante:

∂ z ∂ y = ∂ 4 - x 2 - y 2 ∂ y = - y 4 - x 2 - y 2

Então, podemos escrever a integral assim:

∫ ∫ S   y 2   d S = ∫ ∫ D   y 2 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Substituindo nossas derivadas:

∫ ∫ D   y 2 1 + - x 4 - x 2 - y 2 2 + - y 4 - x 2 - y 2 2   d A

Somando os termos dentro da raiz:

∫ ∫ D   y 2 4 - x 2 - y 2 + x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2   d A

Simplificando:

∫ ∫ D   y 2 2 4 - x 2 - y 2   d A

Passo 3

Note que ainda não temos os limites de integração. Nossa questão não deu esses limites, mas deu a restrição: parte da esfera dentro do cilindro

x 2 + y 2 = 1

Note que essa é a representação no plano x y de um círculo de raio 1 . Como estamos lidando com uma região circular, vamos usar coordenadas polares. Lembrando que no sistema de coordenadas polares:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

d A = r   d r   d θ

Como temos uma circunferência completa e de raio 1 centrada na origem, nossos limites são:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então vamos reescrever nossa integral usando esse sistema:

y 2 = r   s e n θ 2

Nosso denominador fica:

4 - x 2 - y 2 = 4 - x 2 + y 2

Substituindo:

4 - x 2 + y 2 = 4 - r 2

Não esquecendo também de substituir:

d A = r   d r   d θ

Então, teremos:

∫ ∫ D   y 2 2 4 - x 2 - y 2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   s e n   θ 2 2 4 - r 2   r   d r   d θ

Separando em um produto de integrais:

∫ 0 2 π 2   s e n 2   θ   d θ ∫ 0 1 r 2 r 4 - r 2   d r

Agora o bicho pega na hora de fazer essa integralzinha em r rsrs

Passo 4

Vamo focar nela rapidinho

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2  

Pra sumir com essa raiz vamos usar a seguinte substituição

u = 4 - r 2

Isolando r 2 :

r 2 = 4 - u

De forma que os nossos limites de integração serão

r = 0 → u = 4

r = 1 → u = 3

E o diferencial de u será

d u = - 2 r d r

Isolando r d r :

r d r = - d u 2

Então a nossa integralzinha se torna:

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2 = ∫ 4 3 4 - u - d u 2 u 1 2

Rearranjando os termos:

= ∫ 4 3 u 1 / 2 2 - 2 u - 1 / 2 d u

Resolvendo essa integral, temos:

∫ 4 3 u 1 2 2 - 2 u - 1 2 d u = 2 3 u 3 2 2 - 2 ⋅ 2 u 1 2 4 3

Aplicando os limites:

= 1 3 3 3 - 4 4 - 4 3 - 4

(lembrando que u 3 / 2 = u u ), nossa integral é:

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2 = 3 - 8 3 - 4 3 + 8 = 16 3 - 3 3

Já a integral angular fica

∫ 0 2 π 2   s e n 2   θ d θ = θ - s e n 2 θ 2 0 2 π = 2 π

Juntando isso tudo ficamos com

∫ 0 1 r 2 r d r 4 - r 2 = 2 π 16 3 - 3 3

Resposta

2 π 16 3 - 3 3

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