Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

Para isso vamos achar o que é . Sabemos lá da relação entre coordenadas cartesianas e polares que:

Substituindo , temos:

Agora achando . Para isso, sabemos lá da relação entre coordenadas cartesianas e polares que:

Substituindo , temos:

Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar

Igualando a zero

Para acharmos uma resposta, precisaremos fazer uma mudança de variáveis, mas só irá funcionar se só tivermos uma funç��o trigonométrica na nossa equação.

Para isso, vamos substituir

Para resolver, vamos fazer , para resolver a equação de segundo grau

Resolvendo a equação do segundo grau por Bhaskara

Onde:

Para o primeiro valor de , quais valores de fazem com que ? Para

Para o segundo valor de , qual valor de faz com que ? Para

Para achar as tangentes verticais, vamos derivar

Zerando a derivada:

Somando na equação:

Dividindo a equação por , assumindo que :

Dividindo a equação por :

Para quais valores de o ? Para

Mas se ? Isso ocorre nos ângulos

Observe que , ou seja, para , e , portanto vamos analisar melhor esse ponto.

Para essa análise, vamos calcular o limite:

Aplicando L’Hôspital:

Portanto, para temos uma tangente horizontal.

Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular para cada achado.

Para tangentes horizontais, com , e

E

E

Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato são , e .

Para tangentes verticais, com , e

E

E

Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato são , e .