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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 5

Uma massa de 2kg é atada a uma mola cuja constante vale 32 N/m. Uma força igual a f t = 68 . e - 2 t . c o s ⁡ ( 4 t ) atua no sistema a partir de t = 0 . Encontre a equação de movimento na ausência de atrito.

Passo 1

Bora lá meu jovem

Temos que montar o nosso PVI com as informações do exercício 3 mas com um f ( t ) diferente

Seguindo a equação (2) do seu livro:

d 2 x d t 2 + β m d x d t + k m x = f t m

No nosso caso, temos β = 0 , m = 2 k g , k = 32   N / m e f t = 68 . e - 2 t . c o s ⁡ ( 4 t ) , então:

d 2 x d t 2 + 16 x = 68 . e - 2 t . c o s ⁡ ( 4 t )

Como ele não dá informações de condições iniciais, consideramos

x 0 = 0

x ' 0 = 0

Agora temos que resolver esse PVI, fechou?

Passo 2

Temos

d 2 x d t 2 + 16 x = 68 . e - 2 t . c o s ⁡ ( 4 t )

x 0 = 0

x ' 0 = 0

Daí, temos

x c = c 1 . cos ⁡ 4 t + c 2 . s e n ( 4 t )

E

x p = 1 2 . e - 2 t . cos ⁡ 4 t - 2 e - 2 t . s e n ( 4 t )

Portanto:

x t = x c + x p

x t = - 1 2 . cos ⁡ 4 t + 9 4 . s e n 4 t + 1 2 . e - 2 t cos ⁡ 4 t - 2 e - 2 t . s e n ( 4 t )

E encontramos nossa equação do movimento :D

Resposta

x t = - 1 2 . cos ⁡ 4 t + 9 4 . s e n 4 t + 1 2 . e - 2 t cos ⁡ 4 t - 2 e - 2 t . s e n ( 4 t )

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