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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 12

Encontre a carga e a corrente do estado estacionário em um circuito em série L-R-C quando L = 1 2   h e n r y , R = 2 0   o h m s ,   C = 0 , 001   f a r a d   e   E t = 100 sen ⁡ 60 t + 200 cos ⁡ 40 t .

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, nossa equação fica:

1 2 q ' ' + 2 0 q ' + 1000 q = 100 sen ⁡ 60 t + 200 cos ⁡ 40 t

A solução estacionária é uma solução particular dessa EDO, então vamos ver isso...

Passo 2

A gente precisa calcular a solução para a parte não homogênea. Analisando o que temos do lado direito, vamos supor: q p = A s e n   60 t + B cos ⁡ 60 t + C sen ⁡ 40 t + D cos ⁡ 40 t :

q ' p = 60 A c o s   60 t - 60 B s e n   60 t + 40 C cos ⁡ 40 t - 40 D   s e n   40 t

q p ' ' =   - 3600 A   s e n   t - 3600 B c o s   t - 1600 C sen ⁡ 4 t - 1600 D c o s   4 t  

Substituindo, ficamos com:

1 2 q ' ' + 20 q ' + 1000 q = 100 sen ⁡ 60 t + 200 cos ⁡ 40 t

1 2 - 3600 A   s e n   t - 3600 B c o s   t - 1600 C sen ⁡ 4 t - 1600 D c o s   4 t   + 20 60 A c o s   60 t - 60 B s e n   60 t + 40 C cos ⁡ 40 t - 40 D   s e n   40 t + 1000 A s e n   60 t + B cos ⁡ 60 t + C sen ⁡ 40 t + D cos ⁡ 40 t = 100 sen ⁡ 60 t + 200 cos ⁡ 40 t

Resolvendo isso, encontramos:

A = - 1 26   ;     B = - 3 52 ;     C = 4 17     e   D = 1 17

Passo 3

Nossa solução da carga estacionária então é:

q p = - 1 26 s e n   60 t - 3 52 cos ⁡ 60 t + 4 17 sen ⁡ 40 t + 1 17 cos ⁡ 40 t

Para encontrar a corrente estacionária, basta derivarmos essa expressão da carga:

i t = - 30 13 cos ⁡ 60 t + 45 13 sen ⁡ 60 t + 160 17 cos ⁡ 60 t - 40 17 sen ⁡ 40 t

E terminamos aqui! 😉

Resposta

q p = - 1 26 s e n   60 t - 3 52 cos ⁡ 60 t + 4 17 sen ⁡ 40 t + 1 17 cos ⁡ 40 t

i t = - 30 13 cos ⁡ 60 t + 45 13 sen ⁡ 60 t + 160 17 cos ⁡ 60 t - 40 17 sen ⁡ 40 t

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