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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 8b

Identifique as partes transiente e estado estacionário da solução.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinta no problema 5:

m x ' ' + c x ' +   k x = m g + 10 sin ⁡ t 2

x 0 = 1 10

x ' 0 = 3 100

m = 5

c = 50

k = 490,5

g = 9,81

A amplitude do sistema é dada por:

x = e r t

x ' = r e r t

x ' ' = r ² e r t

m r 2 e r t + c r e r t + k e r t = m g + 10 sin ⁡ t 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

Usando o princípio da superposição e todo o raciocínio seguido no problema 6, teremos uma combinação para tera seguinte solução geral:

x t = e - 5 t 4000 3839849 cos ⁡ 73,1 t + 9605547 383984900 73,1 sin ⁡ 73,1 t + 1 10 - 4000 3839849 cos ⁡ t 2 + 78280 3839849 sin ⁡ t 2

Parte transitente: e - 5 t 4000 3839849 cos ⁡ 73,1 t + 9605547 383984900 73,1 sin ⁡ 73,1 t

Parte estacionária: 1 10 - 4000 3839849 cos ⁡ t 2 + 78280 3839849 sin ⁡ t 2

Resposta

Parte transitente: e - 5 t 4000 3839849 cos ⁡ 73,1 t + 9605547 383984900 73,1 sin ⁡ 73,1 t

Parte estacionária: 1 10 - 4000 3839849 cos ⁡ t 2 + 78280 3839849 sin ⁡ t 2

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