Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 13
Uma massa de , atada a uma mola, provoca nesta uma distensão de . Encontre a equação de movimento se o peso for solto a partir do respouso de um ponto acima da posição de equilíbrio.
Passo 1
Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples, como é o nosso caso, é a seguinte:
No qual é a posição e é a velocidade do corpo ligado à mola (conceitos retirados lááá da física, certo? Show!). O que precisamos fazer é determinar a equação de movimento para o problema que nos foi dado, ou seja, precisamos achar uma equação diferencial dessa aí de cima para nossa questão!
Então bora que bora
Passo 2
O primeiro dado que tiramos é que:
Como a distensão provocada pela mola é de , então será:
Sendo assim, nossa equação diferencial será:
Resolvendo essa equação, teremos:
Logo:
Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:
No qual é a constante que acompanha (no nosso caso ). Sendo assim, temos que nossa solução geral será:
Top!
Passo 3
Agora o que precisamos fazer é determinar e , certo? Mas para isso precisamos de duas condições iniciais. O enunciado nos diz que o peso é solto acima da posição de equilíbrio, ou seja:
E como é solto do repouso:
Lembrem-se que é justamente a velocidade do corpo, ok? Show! Aplicando a primeira condição:
Agora aplicando a segunda condição, teremos:
Portanto nossa equação de movimento é essa aqui, galera:
E está aí nossa resolução! 😉