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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 10

Uma massa pesando 8 lb (≈ 3,6 kg) estica uma mola de 6 in (≈ 15 cm). Uma força externa de 8 sen 8t lb age sobre o sistema. Se a massa é puxada 3 in para baixo e depois é solta, determine aposição da massa em qualquer instante de tempo. Determine os quatro primeiros instantes em que a velocidade da massa é nula.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

W = k   Δ x

k = 16

x 0 = 3 4

x ' 0 = 0

∑ F x = m a x

m x ' ' + k x = W + 8 sin ⁡ 8 t

m x c ' ' + k x c = 0

A amplitude do sistema é dada por:

x c = e r t

x c ' = r e r t

x c ' ' = r ² e r t

m r 2 e r t + k e r t = 0

m r ² + k = 0

r = ±   i k m  

m x p ' ' + k x p = W + 8 sin ⁡ 8 t

k A = W     ∴       A = W k

k B - 49 m B = 4     ∴       B   = 8 k - 64 m

x t = C 3 cos ⁡ k m t + C 4 sin ⁡ k m t + W k + 8 k - 64 m sin ⁡ 8 t  

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

x t = C 3 cos ⁡ k m t + C 4 sin ⁡ k m t + W k + 8 k - 64 m sin ⁡ 8 t  

x ' t = - C 3 k m sin ⁡ k m t + C 4 k m cos ⁡ k m t + 64 k - 64 m cos ⁡ 8 t  

x 0 = C 3 + W k = 3 4

x ' 0 = C 4 k m + 64 k - 64 m = 0

C 3 = 1 4       ∴       C 4 = - 64 k - 64 m   m k

Resposta

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