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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 13c

Mostre que ω²máx e Rmáx são dados pelas Eqs. (14) e (15), respectivamente.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

m u ' ' + γ u ' + k u = F o cos ⁡ ω t

m u p ' ' + γ u p '   + k u p = F o cos ⁡ ω t

- m A ω 2 + γ B ω + k A cos ⁡ ω t + - m B ω 2 - γ A ω + k B sin ⁡ ω t = F o cos ⁡ ω t

- m A ω 2 + γ B ω + k A = F o

- m B ω 2 - γ A ω + k B = 0

A = F o k - m ω 2 k - m ω 2 2 + γ 2 ω 2

B = F o γ ω k - m ω 2 2 + γ 2 ω 2

u p t = R cos ⁡ ω t - δ

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

R cos ⁡ δ = F o k - m ω 2 k - m ω 2 2 + γ 2 ω 2

  R sin ⁡ δ = F o γ ω k - m ω 2 2 + γ 2 ω 2

R = F o m 2 ω o 2 - ω 2 2 + γ ² ω ²

cos ⁡ δ =   m ω o 2 - ω 2 m 2 ω o 2 - ω 2 2 + γ ² ω ²

sin ⁡ δ =   γ ω m 2 ω o 2 - ω 2 2 + γ ² ω ²

R ' ω =   0

2 m 2 ω o 2 - ω 2 - 2 ω - 2 γ 2 ω = 0

ω = 0

ω ² = ω o ² = γ 2 2 m 2

ω m á x 2 = ω o ² - γ 2 2 m 2

R m á x = F o γ ω o 1 - γ 2 4 m k

Resposta

ω m á x 2 = ω o ² - γ 2 2 m 2

R m á x = F o γ ω o 1 - γ 2 4 m k

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