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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 22

Em cada um desses problemas:

s ' ' + 0,125 s ' + 4 s = F t ; s 0 = 2 ; s ' 0 = 0 .

(a) Faça os gráficos da função externa F ( t ) e da solução u ( t )   em função de   t usando o mesmo conjunto de eixos. Use um intervalo de tempo suficientemente longo para que a solução transiente seja substancialmente reduzida. Observe a relação entre a amplitude e a fase da força externa e a amplitude e a fase da solução. Note que α 0 = k / m = 2 .

F t = 3 cos ⁡ 2 t

Passo 1

Devemos encontrar u ( t ) , F t = 3 cos ⁡ 2 t .

Convertendo a equação característica em:

m 2 + 0,125 m + 4 = 0

Resolvendo a equação quadrática:

m = - 1 16 ± 1023 16 i

A solução homogênea pode ser dada pela equação que diz que:

y h = c 1 e t a cos ⁡ b t + c 2 e t a sen ⁡ b t

Aqui, consideramos que a é a parte real e b a parte homogênea.

Se a = - 1 16 e b = 1023 16 , então a solução homogênea será:

u c = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t

Passo 2

Encontraremos a solução particular usando o método de coeficiente indeterminado, vamos chamar U t = s ; U ' t = s ' e   U ' ' t = s ' ' . Usaremos para encontrar os respectivos U a tabela de termos do capítulo 3.5 que fala sobre o método dos coeficientes indeterminados.

U t = A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t

Derivando:

U ' t = - 2 A sen ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t

U ' ' t = - 4 A cos ⁡ 2 t - 4 B sen ⁡ 2

Se a equação é:

s ' ' + 0,125 s ' + 4 s = 3   c o s t 4

Substitua na equação original:

- 4 A cos ⁡ 2 t - 4 B sen ⁡ 2 t + 0,125   - 2 A sen ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t + 4 A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t = 3   c o s 2 t

Teremos:

- 1 4 A sen ⁡ 2 t + 1 4 B cos ⁡ 2 t = 3 cos ⁡ 2 t

Por comparação:

1 4 B = 3   e   B = 12

- 1 4 A = 0     e   A = 0

Substituindo, teremos:

U t = 12 sen ⁡ 2 t

A solução geral pode ser dada por:

u t = u c + U ( t )

Substituindo, teremos:

u t = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t + 12 sen ⁡ ( 2 t )

Passo 3

Aplicando as condições iniciais de contorno, se:

u t = c 1 e - t / 16 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 e - t / 16 sen ⁡ 1023 16 t + 12 sen ⁡ ( 2 t )

Derivando, teremos:

u ' t = - 1 16 e - t 16 c 1 cos ⁡ 1023 16 t + c 2 sen ⁡ 1023 16 t + e - t 16 - c 1 1023 16 sen ⁡ 1023 16 t + c 2 1023 16 cos ⁡ 1023 16 t + 24 cos ⁡ 2 t

Se a primeira condição é u 0 = 2 :

u 0 = c 1 e 0 / 16 cos ⁡ 1023 16 . 0 + c 2 e 0 / 16 sen ⁡ 1023 16 . 0 + 12 sen ⁡ ( 0 ) = 2

c 1 = 2

Agora, a outra condição diz que u ' 0 = 0 :

u ' 0 = - 1 16 c 1 + 1023 16 c 2 + 242 = 0

c 2 = - 11,94333

Então, a nossa solução geral será:

u t = 12 e ( - t 16 ) cos ⁡ 1023 16 t - 11,94333 e ( - t 16 ) sen ⁡ 1023 16 t + 12 sen ⁡ 2 t

Resposta

u t = 12 e ( - t 16 ) cos ⁡ 1023 16 t - 11,94333 e ( - t 16 ) sen ⁡ 1023 16 t + 12 sen ⁡ 2 t

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