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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 73

  1. Mostre que ∫ 3 ∞   e - 3 x d x = 1 3   e - 9 < 0,000042 e, portanto ∫ 3 ∞   e - 3 x d x < 0,000042 . Explique por que isso significa que podemos substituir o ∫ 0 3     e - x 2 d x     por ∫ 0 ∞     e - x 2 d x   sem introduzir um erro de magnitude maior que 0,000042 .
  2. Calcule ∫ 0 3     e - x 2 d x   numericamente.

Passo 1

Primeiro, faremos a letra a ). Vamos fazer as contas desse babado. Como temos uma integral imprópria, podemos fazer a substituição que sempre fazemos, ou seja,

∫ 3 ∞   e - 3 x d x =   l i m b → ∞     ∫ 3 b   e - 3 x   d x

Resolvendo a integral,

l i m b → ∞     ∫ 3 b   e - 3 x   d x =   l i m b → ∞ - 1 3 e - 3 b - - 1 3 e 3 ⋅ 3 = 0 + 1 3 e - 9 ≈   0,0000411 < 0,000042   .    

Podemos fazer a substituição pois e - x 2 ≤ e - 3 x   para x > 3   . Vejamos o gráfico:

Agora, vamos resolver a letra b). Vamos usar o método de Simpson subdividindo o intervalo com amplitude igual a Δ = 1,5 . Daí, teremos a seguinte tabela:

Daí,

∫ 0 3     e - x 2 d x   ≅ 1,5 3 (   1 + 4 ⋅ 0,105399 +     0,00012341 )   = 1,5 3 1,4214830 ≈ 0,71086

Resposta

  1. Podemos fazer a substituição pois e - x 2 ≤ e - 3 x   para x > 3
  2. 0,71086
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