Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 5
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Olá, meu caro amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Aqui iremos determinar se a integral dada converge ou diverge e iremos calcular ela caso ela convirja.
Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa:
a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição.
Temos uma expressão com no denominador, podemos tentar fazer com que seja essa expressão, assim:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos aplicar:
Retirando a constante:
Realizando a integração:
Passo 3
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá:
Aplicando o limite para resolvermos se a função converge ou não:
O termo vai a zero quando
A integral converge, pois o limite existe.
Resposta
Converge e tem valor