Mostre como aproximar o trabalho pedido por uma soma de Riemann. Em seguida, expresse o trabalho como uma integral e calcule-a.

Um aquário de 2 m de comprimento, 1 m de largura e 1 m de profundidade está chieo de água. Encontre o trabalho necessário para bombear metade da água para fora do aquário. (Use o fato de que a densidade da água é de 1000 kg/m³.)

Passo 1

Temos que o trabalho é escrito na forma:

W = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i * ∆ x = ∫ a b f x d x

Pela soma de Reimann precisamos saber quem é ∆ x e f x i * , uma fatia de água ∆ x m a uma profundidade de x i * , com 0 ≤ x i * ≤ 1 2 , tem um volume de:

V = 2.1 . ∆ x = 2 ∆ x

uma massa de:

m = d . V = 1000.2 ∆ x = 2000 ∆ x kg

e um peso de:

P = g . m = 9,8.2000 ∆ x N

Assim temos que o trabalho que precisa para bombear a água é:

f x i * ∆ x = 9,8.2000 x i * ∆ x = 19600 x i * ∆ x

Passo 2

Vamos agora substituir na fórmula e calcular a integral:

W = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 19600 x i * ∆ x = ∫ 0 1 2 19600 x d x = 19600 x 2 2 0 1 2 = 19600 1 2 2 2 - 19600 0 2 2 = 2450   J

Resposta

W = 2450   J

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