Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 53
Mostre que o comprimento total da elipse é
onde é a excentricidade da elipse ( com
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá as seguintes equações paramétricas que descrevem uma elipse:
Em que .
Queremos demonstrar que o comprimento total da elipse é dado por:
onde é a excentricidade da elipse ( com .
Para provar isso, temos que saber que o comprimento de uma curva é:
Agora bora aplicar!!
Passo 2
Então vamos calcular primeiro as derivadas:
E
Passo 3
Vamos fazer agora :
Sabemos que , portanto, substituindo :
Colocando em evidência:
Sabemos que , portanto:
Multiplicando a equação por , temos:
Do enunciado, temos que , logo:
Note que, como estamos tratando de uma elipse (figura fechada), sabemos que a variação do é .
Então
Por simetria, podemos reescrever: , que era o que a questão nos pedia para demonstrar.
Resposta
Demonstração