Mostre que o comprimento total da elipse x = as e n θ ,y = bc o sθ ,ab0 , é L = 4 a∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 θd θ onde e é a excentricidade da elipse ( e = c a , com c = a 2 - b 2 )

Enunciado

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá as seguintes equações paramétricas que descrevem uma elipse:

Em que .

Queremos demonstrar que o comprimento total da elipse é dado por:

onde é a excentricidade da elipse ( com .

Para provar isso, temos que saber que o comprimento de uma curva é:

Agora bora aplicar!!

Então vamos calcular primeiro as derivadas:

Vamos fazer agora :

Sabemos que , portanto, substituindo :

Colocando em evidência:

Sabemos que , portanto:

Multiplicando a equação por , temos:

Do enunciado, temos que , logo:

Note que, como estamos tratando de uma elipse (figura fechada), sabemos que a variação do é .

Então

Por simetria, podemos reescrever: , que era o que a questão nos pedia para demonstrar.

Demonstração