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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 77

Verifique que a função u = 1 / x 2 + y 2 + z 2 é uma solução da equação de Laplace tridimensional u x x + u y y + u z z = 0 .

Passo 1

Show de bola, galera. Nessa questão nós temos a função

u = 1 x 2 + y 2 + z 2

E queremos mostrar que a função é uma solução da equação de Laplace tridimensional,

u x x + u y y + u z z = 0 .

Para provarmos que a função u é solução da equação diferencial proposta, precisaremos calcular primeiro as derivadas parciais de 2ª ordem u x x ,     u y y ,     u z z . Depois vamos substituir na equação de Laplace e verificar se ela é satisfeita.

Partiu?

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada primeira com relação a x :  

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2

Utilizando a regra da cadeia:

u x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Agora vamos derivar novamente essa expressão para obter u x x :

u x x = ∂ u x ∂ x = ∂ ∂ x - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Aqui vamos precisar da regra do quociente lá de Cálculo 1... Ficaremos com:

u x x = - x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Expressãozinha meio feia, né? Mas vamos deixa-la desse jeito por enquanto...

Passo 3

Da mesma forma que fizemos para x , fazemos agora para a variável y :

u y = ∂ u ∂ y = ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + z 2

u y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Derivando novamente, obtemos:

u y y = ∂ u y ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

u y y = - x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + 3 y 2 x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Novamente uma expressãozinha meio feia, né? Mas vamos deixa-la desse jeito por enquanto...

Passo 4

Repetindo os passos que demos anteriormente...

u z = ∂ u ∂ z = ∂ ∂ z 1 x 2 + y 2 + z 2 = - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Derivando u z obtemos u z z :

u z z = ∂ u z ∂ z = ∂ ∂ z - z x 2 + y 2 + z 2 3 2

u z z = - x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + 3 z 2 x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 x 2 + y 2 + z 2 3

Ufa!!! Acabou....Agora vamos colocar essas expressões malucas na equação de Laplace.

Passo 5

Bom....Antes de sairmos colocando aquelas expressões na equação de Laplace, vamos só usar uma substituição para simplificar as contas, beleza? Vamos fazer o seguinte:

x 2 + y 2 + z 2 = V

Beleza? Então partiu....

u x x + u y y + u z z = - V 3 2 + 3 x 2 V 1 2 V 3 + - V 3 2 + 3 y 2 V 1 2 V 3 + - V 3 2 + 3 z 2 V 1 2 V 3

Todos os termos podem ser colocados sobre o mesmo denominador. Além disso, podemos colocar o fator 3 V 1 2 em evidência, obtendo:

u x x + u y y + u z z = - 3 V 3 2 + 3 V 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ⏞ O l h a   o   n o s s o   V   a q u i ‼ ! V 3

u x x + u y y + u z z = - 3 V 3 2 + 3 V 1 2 ∙ V V 3

u x x + u y y + u z z = - 3 V 3 2 + 3 V 3 2 V 3

Portanto,

u x x + u y y + u z z = 0

Opa! Chegamos à conclusão do que o enunciado nos pediu! Acabamos de ver que u = 1 / x 2 + y 2 + z 2 é solução da equação u x x + u y y + u z z = 0 .

Resposta

Demonstração.

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