Mostre que a curvatura kappa está relacionada com os vetores tangente e normal pela equação:

dT/ds = κ * N

Passo 1

Olá, tudo bem? A curvatura κ de uma curva é:

κ = d T → d s

Agora, pela regra da cadeia temos:

κ = d T → d s = d T → d t d s / d t

Passo 2

O vetor normal N → é dado por:

N → = d T → / d t | d T → / d t |

Então podemos isolar | d T → / d t | :

d T → d t = d T → / d t N →

Passo 3

Agora podemos substituir d T → d t do passo 2 na expressão para κ do passo 1 :

κ = d T → d t d s / d t = d T → / d t N → d s / d t = 1 N → d T → d t   . d t d s

κ = 1 N →   . d T → d s

Assim temos:

d T → d s = κ N →

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

d T → d s = κ N →

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