Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 59
Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
Passo 1
Olá, Genio do cálculo! Hoje vamos aprender como usar séries para aproximar uma integral definida com uma precisão específica. O objetivo é aproximar integral:
Para solucionarmos essa questão vamos expandir a função em uma série de Taylor. Depois vamos integrar termo a termo e somar os primeiros termos não nulos da série para obter a aproximação desejada e finalmente verificar a precisão da aproximação.
Expandindo usando uma série de Taylor. A função pode ser reescrita como:
Utilizando a expansão binomial para :
Onde o coeficiente binomial é dado por:
Passo 2
Integrando a série termo a termo, temos:
Resolvendo a integral definida, obtemos:
Passo 3
Vamos expandir a série e calcular os primeiros termos:
Calculando os primeiros termos:
- Para :
- Para :
- Para :
Somando os primeiros termos, temos:
O terceiro termo é de ordem , que é menor que o erro permitido . Portanto, a soma dos dois primeiros termos fornece a aproximação com a precisão desejada.