Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 8
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo na paz?
A questão basicamente quer que a gente chegue nos valores de para quais a série abaixo converge:
Quando temos essa missão, dois tipos de testes ajudam muito: o Teste da Raiz e o Teste da Razão. Aqui vamos usar o Teste da razão. Lembra desse Teste? calculamos o limite:
Se: a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se a série é divergente (o mesmo para )e se o teste é inconclusivo.
Bora, bora!
Passo 2
Através do enunciado, vemos que:
E também teremos:
Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que:
Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada usando a propriedade exponencial e cortando os termos iguais, obtemos:
Pela condição de convergência do Teste da Razão:
Porém, devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que . Para que essa condição seja satisfeita, o valor de será:
Logo, .
Portanto, o raio de convergência .
Passo 3
Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.
Como o Raio de convergência é , o intervalo de convergência será