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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 42

Mostre que duas curvas polares r = f 1 ( θ ) e r = f 2 ( θ ) são ortogonais em um ponto de interseção se, e somente se,

t g   ψ 1 C 1 . t g   ψ 2 C 2 = - 1

Passo 1

E aí, beleza? Vamos matar mais um exercício

Primeiramente, por propriedades de ângulo, temos que

ψ 1 - ψ 2 = π 2

Então podemos escrever assim:

t g   ψ 1 = t g   ψ 2 + π 2

t g   ψ 1 = s e n ψ 2 + π 2 cos ⁡ ψ 2 + π 2

Usando a fórmula do seno da soma e do cosseno da soma:

t g   ψ 1 = s e n ψ 2 . cos ⁡ π 2 + s e n π 2 . c o s ⁡ ( ψ 2 ) cos ⁡ ψ 2 . cos ⁡ π 2 - s e n ψ 2 . s e n π 2

Substituindo os valores:

t g   ψ 1 = c o s ⁡ ( ψ 2 ) - s e n ψ 2

t g   ψ 1 = - c o t ⁡ ( ψ 2 )

t g   ψ 1 = - 1 t g ⁡ ( ψ 2 )

Então:

t g   ψ 1 . t g   ψ 2 = - 1

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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