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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.1 - Ex. 19

Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.

2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 8 x - 24 z + 1

Passo 1

Aqui temos uma equação que representa a esfera, mas não sabemos as coordenadas do centro e muito menos o raio, até aí tudo bem.

Sabemos que a equação da esfera é a seguinte:

x - x ' 2 + y - y ' 2 + ( z - z ' ) 2 = r 2

Onde ( x ' ,   y ' , z ' ) é a coordenada do centro.

“Tá beleza, mas como eu vou achar essa coordenada?” Meuamigooo, é o seguinte, precisamos utilizar o método de completar os quadrados... calma! Não entremos em pânico! É só seguir o passo a passo:

Bom, precisamos tornar essas variáveis em equações irredutíveis e uma característica delas é que o valor de ∆ = 0 . Presta atenção:

Organizamos a equação:

2 x 2 - 8 x + 2 y 2 - 0 + 2 z 2 + 2 4 z = 1

A partir disso podemos calcular o ∆ e encontar o valor de c :

∆ = b 2 - 4 a c

-Para 2 x 2 - 8 x :

0 = ( - 8 ) 2 - 4 ( 2 ) c

c = 8

-Para 2 y 2

0 = ( 0 ) 2 - 4 ( 2 ) c

c = 0

-Para ( 2 z 2 + 24 z ) :

0 = ( 2 4 ) 2 - 4 ( 2 ) c

c = 72

Agora, é só substituirmos, lembrando de somarmos no 2° membro também!!

2 x 2 - 8 x + 8 + 2 y 2 + 2 z 2 + 24 z + 72 = 1 + 8 + 72

2 x 2 - 4 x + 4 + 2 y 2 + 2 z 2 + 12 z + 36 = 1 + 8 + 72

Podemos escrevê-los em forma de produto notável, logo

2 x - 2 2 + 2 y 2 + 2 z + 6 2 = 81

x - 2 2 + y 2 + z + 6 2 = 81 2

Assim, as coordenadas do centro são ( 2 , 0 , - 6 ) e o raio é 81 2 = 9 2 !!

Beleza??!

Resposta

As coordenadas do centro são ( 2,0 , - 6 ) e o raio é 9 2 !!.

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No triângulo ABC (Figura 1.33) seja A B → = a → e A C → = b → . Construir um representante de cada um dos vetoresc) b → - a → 2
No triângulo ABC (Figura 1.33) seja A B → = a → e A C → = b → . Construir um representante de cada um dos vetoresd) a → + 1 2 b →
No triângulo ABC (Figura 1.33) seja A B → = a → e A C → = b → . Construir um representante de cada um dos vetorese) 2 a → - 1 2 b →
Dados os vetores a → , b → e c → (Figura 1.34), apresentar graficamente um representante do vetor x → tal que x → = 4 a → - 2 b → - c →