Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 18
Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Fala aí!
Esse problema nos deu a equação
E nosso objetivo é mostrar que essa equação possui apenas uma única solu��ão.
Parece complicado?
Pra isso podemos usar o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema de Rolle, ok?
A jogada aqui é definir um intervalo de modo que e e a partir do teorema de Rolle, não podemos encontrar um valor que satisfaça .
Bora lá!
Passo 2
Podemos começar definindo nosso intervalo, pra isso vamos chutar que ...
Então temos que , estamos indo bem…
Agora precisamos achar tal que , pra isso podemos chutar que .
E agora nós provamos que …
Show! Nós temos uma função que é a soma do polinômio e do escalar múltiplo da função trigonométrica , então é contínua e derivável para todo .
Com isso, pelo Teorema do Valor Intermediário tem que existir um número entre tal que .
E isso prova que função dada pra gente, tem pelo menos uma raiz real.
Show?
Passo 3
Ainda não acabou! Agora a gente precisa provar que a nossa função não tem outra raiz real, ok?
Para isso, vamos usar O Teorema de Rolle, usando um argumento por contradição… É assim, se liga, se tivermos duas raízes e com . Então:
E sendo derivável no intervalo e contínua em , pelo Teorema de Rolle, tem que existir um número , que está entre e que …
Agora vamos ver se essa parte é verdade derivando nossa função:
Como nosso cosseno se comporta assim:
Não vai dar zero! Isso significa que existe uma contradição aí! Isso mostra que a equação não pode ter duas raízes reais diferentes, consequentemente, há exatamente uma raiz real!
Show de bola! Conseguimos provar!
O que achou? Responde Aí!
Resposta
Provamos pelo TVM e pelo Teorema de Rolle.