A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,f c é paralela à secante que passa pelos pontos a ,f a e b ,f b . Ache um valor de c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio, faça um esboço do gráfico no intervalado fechado [ a ,b ] e coloque no gráfico as retas tangente e secante. f x = x 2 ,a = 3 ,b = 5

Portanto, c = 4 satisfaz o teorema do valor médio. Esboço da função f no intervalo [ 3 ,5 ] , das retas tangente e secante a f em x = 4 :

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 17

A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de no intervalo aberto , a reta tangente à curva no ponto é paralela à secante que passa pelos pontos e . Ache um valor de que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio, faça um esboço do gráfico no intervalado fechado e coloque no gráfico as retas tangente e secante.

Passo 1

Como é uma função polinomial, ela será contínua para todo real, em particular será continua no intervalo . Mesma justificativa garante ser derivável em . Logo, pelo teorema do valor médio, existe tal que:

Pela definição de derivada temos:

Assim:

Passo 2

Substituindo este valor de na função temos:

Temos também:

Queremos encontrar a reta que seja tangente a passando pelo ponto e que seja paralela à reta que passa por e. A reta que que passa por esses pontos terá inclinação:

Queremos encontrar a reta que passa por e tenha inclinação 8. Assim:

Resposta

Portanto, satisfaz o teorema do valor médio. Esboço da função no intervalo , das retas tangente e secante a em :

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Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) e da reta que passa pelos pontos a ,f a e b ,f b . f x = 2 x - 1 3 x - 4 ; a = 1 ,b =

Prove, pelo teorema de Rolle, que a equação x 3 + 2 x + c = 0 , onde c é qualquer constante, não pode ter mais do que uma raiz real.

Use o teorema de Rolle para provar que a equação 4 x 5 + 3 x 3 + 3 x - 2 = 0 tem exatamente uma raiz no intervalo ( 0 ,1 ) .

Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;Se as três condições

A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,f c é paralela à secante que passa