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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 23

Determine qual das hipóteses do teorema do valor médio não é satisfeita. Faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) e da reta que passa pelos pontos a ,   f a e b ,   f b .

f x = 3 x - 4 2 3 ,   a = - 4 ,   b = 5

Passo 1

Observe que f é a composição de funções contínuas, logo f também é contínua, para todo número real. Em particular, f é contínua em [ - 4 ,   5 ] .

Passo 2

Agora vamos observar o comportamento da derivada de f . Das propriedades de derivação, temos:

f ' x = 3 . 2 3 x - 4 2 3 - 1 ⇒

f ' x = 2 x - 4 2 - 3 3 ⇒

f ' x = 2 x - 4 - 1 3 ⇒

f ' x = 2 x - 4 1 3 ⇒

f ' x = 2 x - 4 3

Observe que f ' ( x ) não existe quando x = 4 , pois seu denominador se anula. Assim f não é derivável em x = 4 e, em particular, f não é derivável em ( - 4 ,   5 ) , pois 4 ∈ ( - 4 ,   5 ) .

Passo 3

Vamos observar o comportamento de f no extremo do intervalo [ - 4 ,   5 ] .

→ x = - 4 :

f - 4 = 3 - 4 - 4 2 3 ⇒

f - 4 = 3 - 8 2 3 ⇒

f - 4 = 3 - 2 2 ⇒

f - 4 = 3.4 ⇒

f - 4 = 12

→ x = 5 :

f 5 = 3 5 - 4 2 3 ⇒

f 5 = 3 1 2 3 ⇒

f 5 = 3.1 ⇒

f 5 = 3

Vamos determinar a equação da reta que passa por ( - 4 ,   12 ) e 5 ,   3 . Seja m a inclinação desta reta, temos:

m = 3 - 12 5 - - 4 ⇒

m = - 9 9 ⇒

m = - 1

Logo a equação da reta será:

y - 3 = - 1 x - 5 ⇒

y - 3 = - x + 5 ⇒

y = - x + 5 + 3 ⇒

y = - x + 8

Resposta

Logo, f x = 3 x - 4 2 3 ,   restrita ao intervalo [ - 4 ,   5 ] não satisfaz uma das hipóteses do teorema do valor médio (não é derivável). Esboço do gráfico de f e da reta que passa por ( - 4 ,   12 ) e 5 ,   3 :

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