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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 87

Mostre que as equações x = r cos ⁡ θ , x = r sen ⁡ θ transformam a equação polar:

r = k 1 + e cos ⁡ θ

na equação cartesiana

1 - e 2 x 2 + y 2 + 2 k e x - k 2 = 0

Passo 1

Oi pessoal, vamos transformar a equação polar em cartesiana, pelo enunciado, temos as seguinte equações:

Além disso, também sabemos que:

r 2 = x 2 + y 2

A equação polar é:

r = k 1 + e cos ⁡ θ

Rearranjando:

r + e   r cos ⁡ θ = k

Substituindo r cos ⁡ θ por x :

r + e x = k

r = k - e x

Passo 2

Elevando ambos os lados ao quadrado:

r 2 = k - e x 2

Logo:

x 2 + y 2 = k 2 - 2 ∙ k ∙ e x + e 2 x 2

x 2 - e 2 x 2 + y 2 + 2 k e x - k 2 = 0

Rearranjando para ficar como no enunciado:

1 - e 2 x 2 + y 2 + 2 k e x - k 2 = 0

Resposta

Resposta no Passo.

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