Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 21
No exercício a seguir, ache a equação da elipse com as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.
Focos em (-3,2) e (-3,6) e comprimento do semi-eixo menor é três quartos do comprimento do semi-eixo maior.
Passo 1
A questão nos dá o foco e uma informação envolvendo os valores de a e b, então vamos ter foco (entenderam a piada? kkkk) e resolver isso igual Sherlock Holmes faria: Inteligentemente. Bom, a gente tem logo de cara que os focos estão no mesmo eixo (eixo dos y), logo o maior vértice é também no eixo dos y.
Logo a distância focal dessa elipse é 4, portanto:
Passo 2
Olhe só!! Temos o valor de c e isso é um ótimo começo. E como dito anteriormente, os focos estão no mesmo eixo (eixo dos y), logo o maior vértice é também no eixo dos y. Tá mas... e agora? Vamos para a próxima info que eles nos deu: e comprimento do semi-eixo menor é três quartos do comprimento do semi-eixo maior. Isso me lembra uma equação... não lembra?
E segundo a info:
Portanto temos que:
Passo 3
Então saiba meu bacano: Se você tem o valor de a, b e c em uma elipse, e qualquer informação sobre o centro, você tem a equação da mesma! Vamos para a reta final!
Em uma equação de elipse, temos esse formato:
Em que Xc e Yc correspondem respectivamente as coordenadas x e y do centro da elipse. Pelas informações que a gente já tem, sabemos que o nosso centro fica na posição (0,6). Portanto nosso Xc = 0 e nosso Yc = 6. Vamos montar a equação e nos livrar dessa questão? SIMBORA!
Organizando os dados: a = 2 , b = 2, Xc = 0, Yc = 6.
Logo, a nossa equação é:
Fazendo o esboço, fica:
SUPER DICA: QUANDO TEMOS SOMENTE UM FOCO, A NOSSA ELIPSE É UMA CIRCUFERÊNCIA