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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 40

Mostre que se f for contínua em [ - 1,2 ] , então:

int_(- 1)^2 f (x) d x + int_2^0 f (x) d x + int_0^1 f (x) d x + int_1^(- 1) f (x) d x = 0

Passo 1

Uma propriedade muito importante das integrais que precisamos pra resolver essa questão é essa aqui:

int_a^b f (x) d x = int_a^c f (x) d x + int_c^b f (x) d x , quaisquer sejam a , b , e c dentro de um intervalo no qual f ( x ) é integrável.

Podemos então mexer nos intervalos de integração das integrais do enunciado pra tentar cancelar a soma no final.

Passo 2

Vamos então separar as integrais dividindo-as nos intervalos [ - 1 , 0 ] , [ 0 , 1 ] e [ 1 , 2 ] pois esses são os números usados nos limites de integração do problema.

1 ) int_(- 1)^2 f (x) d x = int_(- 1)^0 f (x) d x + int_0^2 f (x) d x = int_(- 1)^0 f (x) d x + int_0^1 f (x) d x + int_1^2 f (x) d x

Aqui separamos em 3 intervalos, usando a propriedade duas vezes.

2 ) int_2^0 f (x) d x = int_2^1 f (x) d x + int_1^0 f (x) d x = - int_1^2 f (x) d x - int_0^1 f (x) d x

Aqui aplicamos a propriedade e depois invertemos a ordem de integração para ficar como queríamos, multiplicando as integrais por - 1 . A terceira integral já está como queremos.

4 ) int_1^(- 1) f (x) d x = int_1^0 f (x) d x + int_0^(- 1) f (x) d x = - int_0^1 f (x) d x - int_(- 1)^0 f (x) d x

Passo 3

Agora só precisamos somar tudo:

int_(- 1)^2 f (x) d x + int_2^0 f (x) d x + int_0^1 f (x) d x + int_1^(- 1) f (x) d x

= int_(- 1)^0 f (x) d x + int_0^1 f (x) d x + int_1^2 f (x) d x - int_1^2 f (x) d x - int_0^1 f (x) d x

+ int_0^1 f (x) d x - - int_0^1 f (x) d x - int_(- 1)^0 f (x) d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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