Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 23
Mostre que o gráfico de é um segmento de uma parábola por uma rotação de eixos de um ângulo cuja medida é . (Sugestão: elimine os radicais na equação antes de aplicar o Teorema 10.4.1.)
Passo 1
Galera, para rotacionarmos os eixos, devemos seguir o seguinte teorema, segundo o Leithold na seção 10.4:
“Se for a representação de um ponto em relação a um conjunto de eixos e for a representação de após a rotação dos eixos de um ângulo , então:
Como o ângulo já nos foi dado, então facilita bastante nossa vida! Antes de iniciarmos a resolução de fato, vamos seguir a sugestão da questão e vamos tentar eliminar os radicais na equação que nos foi dada, ok? Se liga:
Elevando ambos os membros ao quadrado, teremos:
Elevando ambos os membros ao quadrado novamente, teremos:
Então está aí, eliminamos os radicais!
Passo 2
Das equações referentes à rotação dos eixos, teremos:
Agora que encontramos as expressões para e pós rotação de eixos, vamos substituir os novos valores na equação que simplificamos no passo 1, se liga:
Fazendo e , teremos como resultado:
Que, de fato, é um segmento de parábola, assim como o enunciado nos diz! No entanto, apenas uma parte dessa parábola satisfaz as condições do problema, que é apenas a parte entre e .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)