Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 15

Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

Passo 1

Vamos começar efetuando uma rotação para eliminar o termo e depois a translação. Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

Se for a representação de um ponto em relação a um conjunto de eixos e for a representação de após a rotação dos eixos de um ângulo , então

Se , a equação pode ser transformada na equação onde e não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo para o qual .

Nós temos a equação e vamos remover o termo , então utilizaremos a fórmula de (2).

Passo 2

Agora para usar o fato 1 precisamos achar e . Usaremos as relações:

Queremos , daí, como e , então pertencerá ao segundo quadrante e com , podemos montar o seguinte triângulo e achar as relações.

Se no triângulo imaginário acima a gente utilizasse , também faríamos uma rotação correta, porém iria pertencer ao segundo quadrante e basicamente seria a rotação que vamos fazer mais um ângulo de .

Com , temos:

Passo 3

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

Simplificando essa expressão efetuando as multiplicações, nós obtemos a equação:

Passo 4

Agora precisamos completar o quadrado para depois efetuar a translação.

Temos então uma equação reduzida de elipse.

Faremos agora a translação de eixos para o centro da elipse que é . Lembre-se que esse centro se refere ao sistema de coordenadas .

Ficamos com a equação:

Essa é a equação de uma elipse na sua forma mais reduzida com origem no sistema .

Passo 5

Como , então o ângulo de rotação foi de aproximadamente . Sendo assim, segue o esboço da elipse com os eixos , os eixos rotacionados e os eixos transladados .