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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 11

Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.

11 .     31 x 2 + 10 3 x y + 21 y 2 = 144

Passo 1

Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

  1. Se ( x , y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - , y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então

    2. x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

  2. Se B ≠ 0 , a equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 pode ser transformada na equação A - x - 2 + B - y - 2 + C - x - + D - y - + F - = 0 onde A - e C - não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo α para o qual tan ⁡ 2 α = B A - C .

Nós temos a equação 31 x 2 + 10 3 x y + 21 y 2 = 144 e vamos remover o termo x y , então vamos utilizar a fórmula de (2).

tan ⁡ 2 α = B A - C = 10 3 31 - 21 = 3 1

Passo 2

Agora para usar o fato 1 precisamos achar sen ⁡ α e cos ⁡ α . Usaremos as relações:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2                             sen ⁡ α = 1 - cos ⁡ 2 α 2                         0 < α < π 2  

Como tan ⁡ 2 α = 3 1 , podemos montar o seguinte triângulo e achar as relações.

Com cos ⁡ 2 α = 1 2 , temos:

cos ⁡ α = 1 + 1 2 2                             sen ⁡ α = 1 - 1 2 2

cos ⁡ α = 3 2 2 = 3 2                             sen ⁡ α = 1 2 2 = 1 2

Passo 3

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

x = x - 3 2 - y - 1 2                         y = x - 1 2 + y - 3 2

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

31 x - 3 2 - y - 1 2 2 + 10 3 x - 3 2 - y - 1 2 x - 1 2 + y - 3 2 + 21 x - 1 2 + y - 3 2 2 = 144

Simplificando essa expressão, nós obtemos a equação:

9 x - 2 + 4 y - 2 = 36         →         9 x - 2 36 + 4 y - 2 36 = 1     →         x - 2 4 + y - 2 9 = 1  

Que é a equação de uma elipse com centro na origem e sem o termo x y .

Passo 4

Como cos ⁡ α = 3 2 , então o ângulo de rotação foi α = 30 ° . Sendo assim, segue o esboço da elipse com o eixo OXY e os eixos rotacionados 30 ° .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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