Mostre que a solução do problema de valor inicial
pode ser escrita como em que e são soluções dos dois problemas de valor inicial
respectivamente. Em outras palavras, as partes não homogêneas na equação diferencial e nas condições iniciais podem ser tratadas separadamente. Note que é fácil de achar, se for conhecido um conjunto fundamental de soluções para .
Passo 1
Suponha que e satisfaçam as Eq , e Assim, teremos:
E
Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:
Vemos que a função é, como u, uma solução complementar. Agora verificamos os valores de e em :
Vemos que satisfazem as mesmas condições iniciais que . De acordo com o Teorema da Existência e Exclusividade , existe apenas uma solução que satisfaz as mencionadas. Assim , ou: