(a) Use o resultado do Problema 22 para mostrar que a solução do problema de valor inicial

y ' ' + y = g t ,                 y t 0 = 0 ,     y ' t 0 = 0

É

y = ∫ t 0 t sen ⁡ t - s g s d s

(b) Use o resultado do Problema 21 para encontrar a solução do problema de valor inicial

y ″ + y = g t ,       y 0 =   y 0 ,     y ' 0 = y 0 ’   .

Passo 1

Devemos usar o problema 22 para provar que:

y ' ' + y = g t ,                 y t 0 = 0 ,     y ' t 0 = 0

Se torna:

y = ∫ t 0 t sen ⁡ t - s g s d s

Podemos reescrever a equação para encontrar a solução homogênea:

y ' ' + y = 0

r 2 + 1 = 0

r = ± - 4 2 = ± i

A solução homogênea pode ser dada por:

y c t = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t

Passo 2

Agora, aplicaremos a condição dada pelo problema 22:

Y t = ∫ t 0 t y 1 s y 2 t - y 1 t y 2 ( s ) y 1 s y 2 ' s - y 1 ' s - y 1 ' s y 2 s g s d s

= ∫ t 0 t sen ⁡ t cos ⁡ s - cos ⁡ t sen ⁡ s cos ⁡ s cos ⁡ s + sen ⁡ s sen ⁡ s g s d s

= ∫ t 0 t sen ⁡ t cos ⁡ s - cos ⁡ t sen ⁡ s cos 2 ⁡ s + sen 2 ⁡ s g s d s

Por propriedade cos 2 ⁡ s + sen 2 ⁡ s = 1 :

= ∫ t 0 t ( sen ⁡ t cos ⁡ s - cos ⁡ t sen ⁡ s ) g s d s

Dessa forma, nossa solução pode ser dada por:

= ∫ t 0 t sen ⁡ t - s g s d s

Passo 3

(b) Vamos usar a solução homogênea para encontrar os termos desconhecidos c 1 e c 2 , se:

y c t = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t

Aplicando a primeira condição:

y c 0 = c 1 = y 0

Aplicando a segunda condição:

y c ' t = - c 1 sen ⁡ t + c 2 cos ⁡ t

y c ' 0 = c 2 = y 0 '

Solucionando, teremos:

y c t = y 0 cos ⁡ t + y 0 ' sen ⁡ t

A solução geral é dada por:

y t = y c + Y ( t )

Logo, teremos:

y t = y 0 cos ⁡ t + y 0 ' sen ⁡ t + ∫ t 0 t sen ⁡ t - s g s d s

Resposta

(a) ∫ t 0 t sen ⁡ t - s g s d s

(b) y t = y 0 cos ⁡ t + y 0 ' sen ⁡ t + ∫ t 0 t sen ⁡ t - s g s d s

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