Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.2 - Ex. 27
Resolva a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea e a parte particular :
Vamos determinar primeiro a solução da parte homogênea.
Passo 2
A equação diferencial homogênea associada é:
E a equação característica associada é:
E solução vai ser dada pela fórmula de Bháskara:
Aqui a solução vai ser uma combinação de exponenciais:
Beleza! Agora vamos aplicar o método da variação de parâmetros para determinar a solução particular.
Passo 3
Esse método consiste no seguinte: determinado duas soluções para a equação diferencial homogênea associada e , supõe-se que a solução particular vá ser uma combinação linear com parâmetros variáveis, dessa forma:
No texto do livro é deduzido o sistema de equações que essa solução deve satisfazer, a saber, são as equações e e formam o seguinte sistema:
Onde é o coeficiente de e é a função que dá origem a solução particular. Resolvendo esse sistema de equações chegamos as seguintes equações para e :
E depois é só fazer a integração.
No nosso caso e E as derivadas são e . E e também .
Então podemos calcular o denominador:
Assim fica:
E integrando em relação a temos (por substituição com ):
A integral será resolvida por integração direta:
E já vou calcular aqui pois vai ser útil depois!
Passo 4
Pronto, agora vamos calcular e posteriormente .
Da fórmula para do passo anterior temos:
E integrando em relação a temos (fazendo o mesmo tipo de substituição):
E o valor de pois vai ser:
Pronto! Agora vamos juntar os resultados dos passos e e determinar a solução particular.
E a solução completa vai ser:
Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)
Beleza?
Vamos pra próxima?