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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 20

Mostre que se sum_(n = 1)^(oo) a_n converge, então

sum_(n = 1)^(oo) ((1 + sen (a_n))/(2))^n

Converge.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para este caso, vamos usar o teste da raíz (podemos usar também o teste do n-ésimo termo), mas por decisão, vamos utilizar o teste da raíz. Supondo que nós temos uma série sum a_n , vamos definir

L = underset(n -> oo)(lim) root(n)(|a_n|) = underset(n -> oo)(lim) |a_n|^((1)/(n))

Se L < 1 , a série é absolutamente convergente, caso L > 1 , a série é divergente e se caso L = 1 , o teste não é útil.

Passo 2

No problema, nós temos que

L = underset(n -> oo)(lim) |((1 + sen (a_n))/(2))^n|^((1)/(n))

Desenvolvendo os termos

L = underset(n -> oo)(lim) (1 + sen (a_n))/(2)

Com isso, nós temos que

L = (1)/(2) + (1)/(2) sin (underset(n -> oo)(lim) a_n)

Para esse caso,

L = (1)/(2) + (1)/(2) sen (0) = (1)/(2) < 1

Portanto, a série é convergente!

Resposta

Série convergente!

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