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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 3

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 1-4 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

3. ∑ n = 1 ∞ - 1 n tgh ⁡ n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Visto que a série

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n tgh ⁡ n

Usando o teste do n-ésimo termo, obtemos que se ∑ n = 1 ∞ a n , então a n → 0 e n → ∞ . Com isso, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n tgh ⁡ n

Fazendo que tgh ⁡ n = 1 - e - 2 n 1 + e - 2 n , logo,

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 1 - e - 2 n 1 + e - 2 n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n

Este limite não existe, portanto, a série é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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