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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 37

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n ! ( 2 n + 1 ) !

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ n ! ( 2 n + 1 ) !

Vamos assumir que

a n = n ! ( 2 n + 1 ) !

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) ! n ! ( 2 n + 1 ) ! = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! ( 2 n + 3 ) ! × ( 2 n + 1 ) ! n !

Lembrando que

2 n + 3 ! = 2 n + 3 2 n + 2 ! = 2 n + 3 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) !

n + 1 ! = n + 1 n !

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ! 2 n + 3 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ! × ( 2 n + 1 ) ! n ! = lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n + 3 ( 2 n + 2 )

Simplificando:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n + 3 ( 2 n + 2 ) = lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n 2 + 10 n + 6

Aplicando o valor que n tende:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 4 n 2 + 10 n + 6 = 0

Portanto, podemos concluir que a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

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