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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 23b

Nesse problema, esboçamos uma demonstração de que as autofunções do problema de Sturm-Liouville (1), (2) são reais..

Usando o Teorema 11.2.3, ou o resultado do Problema 20, mostre que U e V são linearmente dependentes.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para atribuirmos a definição do operador de Sturn-Liouville e testar a dependência linear de autofunções. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a definição da teoria de Sturn-Liouville

L y ( x ) = λ r x y ( x )

Com isso, podemos assumir que:

L ϕ x = L U x + i V x

L ϕ x = L U x + i L V x

Usando a definição, chegamos a

L ϕ x = λ r x U x + i λ r x V x  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

L ϕ x = λ r x U x + i λ r x V x  

L U x =   λ r x U x

L V x =   λ r x V x

As funções são LD.

Resposta

L U x =   λ r x U x

L V x =   λ r x V x

As funções são LD.

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