Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 27c
Substâncias dissolvidas em um aquífero são transportadas por dois mecanismos separados. O processo pelo qual um soluto é transportado pelo grande movimento do fluxo da água subterrânea é chamado de advecção. Além disso, o soluto é espalhado pelas flutuações em escala pequena na velocidade da água subterrânea ao longo de caminhos tortuosos do fluxo dentro de poros individuais, um processo chamado de dispersão mecânica. A forma unidimensional da equação de advecção-dispersão para uma substância dissolvida não reativa em um meio poroso isotrópico homogêneo saturado sob um fluxo uniforme regular é
em que c(x, t) é a concentração do soluto, υ é a velocidade linear média da água subterrânea, D é o coeficiente da dispersão hidrodinâmica e L é o comprimento do aquífero. Suponha que as condições de contorno são
e que a condição inicial é
em que f(x) é a concentração inicial dada do soluto.
Mostre graficamente que a Eq. (vii) tem uma sequência infinita de raízes positivas e que μn ≅ (2n – 1) π/2L para n grande.
Passo 1
Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??
Passo 2
Ok, nosso primeiro passo vai ser reescrever a equação diferencial.
Com isso, teremos o seguinte sistema de equações:
Lembrando que:
Passo 3
Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!
Resolvendo essa equação, temos que:
Resposta
