Enunciado

Um operador diferencial que anula e^(2 x) (x + s e n x) é __________.

Passo 1

Então pessoal, de início vamos simplificar nossa função, saca só:

e^(2 x) (x + s e n x)

x e^(2 x) + e^(2 x) . s e n x

De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato x^(n - 1) e^(a x) o seguinte operador anula nossa função:

(D - a)^n

No qual n é o expoente de x acrescido de uma unidade, D é o operador definido como D y = (d y)/(d x) e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos a = 2 e n = 2 , logo nosso primeiro operador será:

(D - 2)^2

Top! Primeiro operador encontrado!

Passo 2

De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e^(a x) . s e n (beta x) o seguinte operador anula nossa função:

(D^2 - 2 a D + (a^2 + beta^2))^n

Como temos a = 2 , beta = 1 e n = 1 , nosso segundo operador será:

(D^2 - 4 D + 5)

Dessa forma podemos concluir que nosso operador para a função dada será:

(D - 2)^2 (D^2 - 4 D + 5)

E é isso, pessoal! 😉

Resposta

(D - 2)^2 (D^2 - 4 D + 5)

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