Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 40
Nos problemas 33-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
40.
Passo 1
Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar fazendo as substituições na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:
Colocando em evidência:
E então tiramos que:
Como temos raízes distintas e idênticas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar, galera:
Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!
Passo 2
Chamando de o lado direito da nossa equação, então tiramos que:
Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato o seguinte operador anula nossa função:
No qual é o operador definido como e é a constante que acompanha no expoente. No nosso caso temos , logo nosso primeiro operador será:
E quando temos uma função no formato o seguinte operador anula nossa função:
No qual é o expoente de acrescido de uma unidade. Como temos , então nosso segundo operador será:
Dessa forma temos que nosso operador total será . Aplicando na nossa equação, teremos:
E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)
Passo 3
Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo , teremos:
Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:
Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:
Observe que o termo é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:
Aqui vale ressaltar que , beleza? Top! E então devemos encontrar para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!
Passo 4
Derivando nossa solução particular:
Substituindo na nossa equação original, teremos:
Como temos uma identidade isso nos dá que:
E então encontramos o seguinte:
Portanto temos que nossa solução geral final será:
Show de bola! Conseguimos resolver nossa equação diferencial! No entanto não acabou por aqui, pois o enunciado nos deu condições iniciais para encontrarmos . As condições são:
Então bora resolver isso aí!
Passo 5
Aplicando a primeira condição, teremos:
Aplicando a segunda condição, teremos:
Aplicando a terceira condição, teremos:
E, por fim, aplicando a quarta e última condição, teremos:
E desse sistema formado tiramos:
Portanto nossa solução geral tendo em vista essas condições iniciais será:
E essa é a nossa resolução, galera! 😉