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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 24

Em cada um dos problemas de 21 a 28:

Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.

Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 3 e - t + 2 e - t cos ⁡ t + 4 e - t t 2 sen ⁡ t  

Passo 1

(a) Determine a equação característica substituindo y ' ' por r 2 , y ' por r   e y por 1 na equação diferencial:

r 2 + 2 r + 2   =   0

Determinando as raízes, podemos aplicar em Bhaskara:

r = - 2 ± 2 2 - 4 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 )

r = - 1 ± i

Onde a parte real é a = - 1 e a parte imaginária b = ± 1 .

y t = c 1 e a t cos ⁡ b t + c 2 e a t sen ⁡ b t

A solução homogênea é então a soma de dois termos exponenciais com essas raízes no poder:

y t = c 1 e - t cos ⁡ t + c 2 e - t sen ⁡ t

Passo 2

A solução específica contém os termos de 3 e - t + 2 e - t cos ⁡ t + 4 e - t t 2 sen ⁡ t   .

Vamos usar como base a tabela 3.5.1 do capítulo 3 (seção 5), e analisaremos os casos equivalentes mostrados na tabela.

O próximo, é equivalente ao Caso 2: P n t e α t = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n .

Nós temos 3 e - t , onde n = 0 e α = - 1 :

Y 1 = A e - t

E por fim, temos o caso 3: P n t e α t ( se n ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n sem ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t

Nesse caso, temos sen ⁡ t   e cos ⁡ t e multiplicando e - t , podemos unir em um único problema:

Nós temos 2 e - t cos ⁡ t + 4 e - t t 2 sen ⁡ t , onde β = 1 , n = 2 e α = - 1 :

Y 2 = e - t B o t 2 + B 1 t + B 2 cos ⁡ t + e - t D o t 2 + D 1 t + D 2 s en ⁡ t

A solução Y será dada por: Y = Y 1 + Y 2

Y = A e - t + e - t B o t 2 + B 1 t + B 2 cos ⁡ t + e - t D o t 2 + D 1 t + D 2 sen ⁡ t

Os termos sen ⁡ t e cos ⁡ t estão presentes na solução homogênea, nos permitindo multiplicar esses dois termos por t :

Y = A e - t + t e - t B o t 2 + B 1 t + B 2 cos ⁡ t + t e - t D o t 2 + D 1 t + D 2 sen ⁡ t

Passo 3

Podemos encontrar as raízes computacionalmente ultilizando um software simples online (como é o caso do Wolfram Alpha e Symbolab). As raízes encontradas são :

A = 3 ;

B 0 = - 2 3   ; B 1 = 0 ; B 2 = 1

D 0 = 0 ; D 1 = 1 ; D 2 = 1

Resposta

(a) Y = A e - t + t e - t B o t 2 + B 1 t + B 2 cos ⁡ t + t e - t D o t 2 + D 1 t + D 2 sen ⁡ t

(b) A = 3 ;

B 0 = - 2 3   ; B 1 = 0 ; B 2 = 1

D 0 = 0 ; D 1 = 1 ; D 2 = 1

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