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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.4 - Ex. 20

Uma piscina circular tem um diâmetro de 10   m, os lados têm 1,5 m de altura e a profundidade da água é de 1,2 m. Quanto trabalho é necessário para bombear toda a água pelo lado da piscina? (Use o fato de que a densidade da água é 62,5 Ib/pé³.)

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Nesse problema queremos obter o trabalho necessário para bombear a água pelo lado de uma piscina que tem 10 m de diâmetro, 1,5 m de altura e 1,2 m de profundidade.

Parece complicado, não é? 😬

Antes de calcularmos o trabalho de fato, precisamos obter algumas informações importantes.

Uma fatia cilíndrica horizontal de água com ∆ x pés de diâmetro tem um volume π r 2 h = π 5 ² ∆ x pés³ e peso 1000 k g m 3 25 π ∆ x   m 3 = 25000 π ∆ x   k g .

Se a fatia está x i * pés abaixo da borda da piscina.

Sabendo que a piscina tem 1,5   m e a água está numa altura de 1,2   m . Nosso x i * vai variar assim: 0,3 ≤ x i * ≤ 1,5 , então o trabalho necessário para bombear toda a água é 25000 π x i * ∆ x .

Agora sim podemos começar! 😉

Passo 2

Portanto, o trabalho é dado por

W = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 25000 π x i * ∆ x = ∫ 0,3 1,5 25000 π x   d x

Calculando a integral e aplicando o intervalo de integração, temos

W = 12500 π x 2 0,3 1,5

W = 12500 π 2,25 - 0,09

W = 27000 π   k g m

E aí, entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

27000 π   k g m .

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