Pressão atmosférica. A pressão atmosférica p da Terra frequentemente é modelada pela suposição de que a taxa d p / d h à qual p varia com a altitude h acima do nível do mar é proporcional a p . Suponha que a pressão ao nível do mar seja de 1.013 milibares (aproximadamente 14,7 libras por polegada quadrada) e que a pressão a uma altitude de 20 k m seja de 90 milibares.a. Resolva esse problema de valor inicialEquação diferencial: d p / d h = k p (sendo k uma constante)Condição inicial: p = p 0 quando h = 0 Para expressar p em termos de h . Determine os valores de p 0 e k a partir dos dados de altitude e pressão fornecidos.b. Qual é a pressão atmosférica em h = 50 k m ?c. A que altitude a pressão é igual a 900 milibares?

Item a. p 0 = 1013 milibares e k ≈ - 0.121 Item b. p ≈ 2.389 milibaresItem c. h ≈ 0.977 k m

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 24

Pressão atmosférica. A pressão atmosférica da Terra frequentemente é modelada pela suposição de que a taxa à qual varia com a altitude acima do nível do mar é proporcional a . Suponha que a pressão ao nível do mar seja de milibares (aproximadamente libras por polegada quadrada) e que a pressão a uma altitude de seja de milibares.

a. Resolva esse problema de valor inicial

Equação diferencial: (sendo uma constante)

Condição inicial: quando

Para expressar p em termos de . Determine os valores de e a partir dos dados de altitude e pressão fornecidos.

b. Qual é a pressão atmosférica em ?

c. A que altitude a pressão é igual a milibares?

Passo 1

Inicialmente para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de e do outro todo mundo que depende de

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

Portanto, a solução da EDO é da forma,

Assim,

Onde,

Como desejamos encontrar apenas , então

Considerando teremos,

Passo 2

Desejamos saber qual o valor de e quando

Sabemos que a pressão ao nível do mar é . Isso significa quanto a pressão é nula,ou seja, a pressão corresponde a . Sendo assim,

Desejamos agora encontrar o valor de . Com isso, utilizaremos que a e já que foram as informações dadas no enunciado. Sendo assim,

Portanto,

Passo 3

Para temos que

milibares

Ou seja, quando a altitude está a km, a pressão será aproximadamente milibares

Passo 4

Para milibares temos que

Ou seja, quando a pressão corresponde a milibares a altitude será aproximadamente .

Resposta

Item a. milibares e

Item b. milibares

Item c.

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Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.41. e - y + 1 s e nx . d x = 1 + cos ⁡ x d y , no qual y 0 = 0 .

Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.49. d y d x - y 2 = - 9 b) (0, 3)

Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.50. x d y d x = y 2 - y b) (0, 0)

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.44. d y d t + t y = y , no qual y 1 = 3 .

Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento p