Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 24

Pressão atmosférica. A pressão atmosférica p da Terra frequentemente é modelada pela suposição de que a taxa d p / d h   à qual p varia com a altitude h acima do nível do mar é proporcional a p . Suponha que a pressão ao nível do mar seja de 1.013 milibares (aproximadamente 14,7 libras por polegada quadrada) e que a pressão a uma altitude de 20 k m seja de 90 milibares.

a. Resolva esse problema de valor inicial

Equação diferencial: d p / d h = k p       (sendo k uma constante)

Condição inicial: p = p 0 quando h = 0

Para expressar p em termos de h . Determine os valores de p 0 e k   a partir dos dados de altitude e pressão fornecidos.

b. Qual é a pressão atmosférica em h = 50 k m ?

c. A que altitude a pressão é igual a 900   milibares?

Passo 1

Inicialmente para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de p e do outro todo mundo que depende de h .

d p d h = k p   ⇒ 1 p d p = k   d h        

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 p d p     = ∫ k   d h   ⇒ ln ⁡ p + C 1 = k ∫ 1   d h = k h + C 2

Portanto, a solução da EDO é da forma,

∫ 1 p d p     = ∫ k   d h  

⇒ ln ⁡ p + C 1 = k h + C 2

Assim,

ln ⁡ p = k h + C

Onde, C = C 2 - C 1

Como desejamos encontrar apenas p , então

ln ⁡ p = k h + C ⇒ e ln ⁡ p = e k h + C ⇒ p = e C . e k h

Considerando e C = p 0 teremos,

p = p 0 e k h

Passo 2

Desejamos saber qual o valor de   p 0 e quando h = 0

Sabemos que a pressão ao nível do mar é 1013 . Isso significa quanto a pressão é nula,ou seja,   h = 0 a pressão corresponde a p = 1013   . Sendo assim,

p = p 0 = 1013

Desejamos agora encontrar o valor de k . Com isso, utilizaremos que a h = 20 e p = 90 já que foram as informações dadas no enunciado. Sendo assim,

p = p 0 e k h

⇒ 90 = 1013 e k ( 20 )

⇒ e k ( 20 ) = 90 1013

⇒ l n ⁡ ( e k ( 20 ) )   = ln ⁡ 90 1013

⇒ 20 k = ln ⁡ 90 - ln ⁡ 1013

⇒ k = ln ⁡ 90 - ln ⁡ 1013 20 ≈ - 0.121

Portanto,

p 0 = 1013 e k ≈ - 0.121

Passo 3

Para h = 50 k m temos que

p = p 0 e k h ⇒ p = 1013 e ( - 0.121 ) ( 50 )

⇒ p = 1013 e ( - 6.05 ) ≈ 2.389 milibares

Ou seja, quando a altitude está a 50 km, a pressão será aproximadamente 2.389 milibares

Passo 4

Para p = 900 milibares temos que

p = p 0 e k h ⇒ 900 = 1013 e - 0.121 h

⇒ e - 0.121 h = 900 1013 ⇒ ln ⁡ e - 0.121 h = ln ⁡ 900 1013

⇒ - 0.121 h = ln ⁡ 900 - ln ⁡ 1013

⇒ h = ln ⁡ 900 - ln ⁡ 1013 - 0.121 ≈ 0.977 k m

Ou seja, quando a pressão corresponde a 900 milibares a altitude será aproximadamente 0.977 k m .

Resposta

Item a. p 0 = 1013 milibares e k ≈ - 0.121

Item b. p ≈ 2.389 milibares

Item c. h ≈ 0.977 k m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.41. e - y + 1 s e nx . d x = 1 + cos ⁡ x d y , no qual y 0 = 0 .
Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.49. d y d x - y 2 = - 9 b) (0, 3)
Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.50. x d y d x = y 2 - y b) (0, 0)
Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.44. d y d t + t y = y , no qual y 1 = 3 .
Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento p