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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 34

Desconto contínuo no preço. Para incentivar os compradores a fazer pedidos de 100 unidades, o departamento de vendas de sua empresa aplica um desconto continuo que toma o

preço por unidade uma função p ( x ) do número de unidades x pedidas. O desconto diminui o preço a uma taxa de $ 0,01 por unidade pedida. O preço unitário para um pedido de 100

unidades é   p 100 = $ 20,09 .

a. Determine p(x) resolvendo o seguinte problema de valor

inicial:

Equação diferencial: d p d x = - 1 100 p

Condição inicial: p 100 = $ 20,09

b. Determine os preços unitários p ( 10 ) para um pedido de 10 unidades e p ( 90 ) para um pedido de 90 unidades.

c. O departa1nento de vendas pediu para que você descubra se o desconto oferecido é tal que a receita da empresa, r x = x p x   realmente será menor para um pedido de 100 unidades do que para um pedido de 90 unidades. Tranquilize-os, mostrando quer tem seu valor máximo em x = 100 .

d. Faça o gráfico da função receita r x = x p x   para 0 ≤ x ≤ 200 .

Passo 1

Inicialmente para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de p e do outro todo mundo que depende de x .

d p d x = - 1 100 p   ⇒ 1 p d p = - 1 100 d x        

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 p d p     = ∫ - 1 100 d x     ⇒ ln ⁡ p + C 1 = - 1 100 ∫ 1   d x = - 1 100 x + C 2

Portanto, a solução da EDO é da forma,

∫ 1 p d p     = ∫ - 1 100 d x    

⇒ ln ⁡ p + C 1 = - 1 100 x + C 2

Assim,

ln ⁡ p = - 1 100 x + C

Onde, C = C 2 - C 1

Como desejamos encontrar apenas p , então

ln ⁡ p = - 1 100 x + C ⇒ e ln ⁡ p = e - 1 100 x + C ⇒ p = e C . e - 1 100 x

Considerando e C = p 0 teremos,

p ( x ) = p 0 e - 1 100 x

Como p 100 = 20,09   teremos,

20,09 = p 0 e - 1 100 100 ⇒ 20,09 = p 0 e - 1 = p 0 e

⇒ p 0 = 20,09 e ⇒ p 0 ≈ 54,61 $

Sendo assim,

p ( x ) = ( 54,61 ) e - 1 100 x

Passo 2

Perceba que para x = 10 teremos

p 10 = 54,61 e - 1 100 10 = 54,61 e - 0,1 = 49,41 $

Da mesma forma, para x = 90 teremos

p 90 = 54,61 e - 1 100 90 = 54,61 e - 0,9 = 22,20 $

Passo 3

Sabemos que

r x = x p ( x )

Desejamos saber se r x será de fato o menor, para utilizaremos a derivada, ou seja,

r ' x = p x ∓ ' ( x )

Por outro lado,

p ' x = - 1 100 54,61 e - 1 100 x . 1 = - 0,5461 e - 1 100 x

Assim,

r ' ( x ) = ( 54,61 ) e - 1 100 x - 0,5461 x e - 1 100 x

⇒ r ' ( x ) = e - 1 100 x ( 54,61 - 0,5461 x )

Vamos verificar agora se x = 100 , de fato é um mínimo, ou seja,

r ' ( 100 ) = e - 1 100 100 ( 54,61 - 0,5461 ( 100 ) )

= e - 1 54,61 - 54,61 = 0

Perceba que para x < 100 , r ' x > 0 . Por outro lado, quando x > 100 , r ' x < 0 . Sendo assim, em x = 100 p ( x ) assume um máximo.

Passo 4

Utilizando os dados que temos a respeito da derivada, obteremos o gráfico da forma:

Resposta

Item a.   p x = ( 54,61 ) e - 1 100 x

Item b.   p 10 = 49,41 $ e p 90 = 22,20 $

Item c. p ( x ) assume um máximo em x = 100 .

Item d.

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Resolva os problemas 1-4 sem consultar o texto. Complete o espaço em branco ou responda verdadeiro ou falso.O problema de valor inicial x y ' = 3 y ,y 0 = 0 possui a solução y = x 3 e_____________.
Resolva y x d y d x = e x ln ⁡ y sujeito a y 1 = 1 .
Resolva y 2 + 1 d x = ys e c 2 xd y .
Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição. d y d x + x y 3 s e c 1 y 2 = 0
Resolva y ' + 2 y = 4 ,y 0 = 3 por um dos métodos usuais. Resolva o mesmo problema pelo método de Picard e compare os resultados.