Uma equação diferencial da forma dy/dx = f(a*x + b*y + c), b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a*x + b*y + c . Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

57. dy/dx = (x + y + 1)^2

Passo 1

Então pessoal, aqui o objetivo é resolvermos a equação diferencial dada utilizando a substituição indicada pelo enunciado, tudo bem? Sendo assim, vamos aplicar a ideia para ver o que surge! A equação que nos foi dada é:

d y d x = x + y + 1 2

Fazendo a seguinte substituição:

u = x + y + 1

Teremos:

d u d x = 1 + d y d x ⇒ d u d x - 1 = d y d x

Substituindo o que encontramos na nossa equação diferencial, teremos:

d u d x - 1 = u 2

Isolando as variáveis:

d u 1 + u 2 = d x

Show!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d u 1 + u 2 = ∫ d x

A integral da esquerda tem um resultado bastante conhecido e tabelado, que é:

∫ d u 1 + u 2 = a r c tan ⁡ u + c 1

Já a integral da direita também tem um resultado bem comum:

∫ d x = x + c 2

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

a r c tan ⁡ u + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

a r c tan ⁡ u = x + c 3

Para facilitar nossa vida, vamos simplificar esse arco trigonométrico assim:

u = tan ⁡ x + c 3

Mas note que estamos com um resultado em u e queremos um resultado em y , certo? Logo, lembrando da substituição que fizemos lá no passo 1, teremos:

x + y + 1 = tan ⁡ x + c 3

∴ y = tan ⁡ x + c 3 - x - 1

E esse é nosso resultado!

Resposta

y = tan ⁡ x + c 3 - x - 1

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