Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ k = 1 ∞ k k + 2 2 x - 4 k

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 3 2 x - 4 n + 1   n n + 2 2 x - 4 n =   l i m n → ∞   ( n + 1 ) x - 4 n + 1 n + 3 2 ⋅ n + 2 2 n x - 4 n

=   l i m n → ∞   n + 1 n + 2 2 n n + 3 2 x - 4 = 1 ⋅ x - 4 = | x - 4 |

Passo 2

A série converge absolutamente para | x - 4 | < 1 , ou seja:

( 3,5 )

Agora, para x = 3 , temos a série:

∑ k = 1 ∞ k k + 2 2 - 1 k

Que é uma série convergente, pelo teste da série alternada.

Já para x = 5 , temos a série:

∑ k = 1 ∞ k k + 2 2

Que é uma série divergente, pelo teste do limite da comparação.

Então, temos que a série converge em:

[ 3,5 )

Resposta

[ 3,5 )

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