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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 16

Nos problemas 15-18, use o método de série de potências para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas

x + 1 y ' ' - ( 2 - x ) y ' + y = 0

y 0 = 2

y ' 0 = - 1

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos pra mais uma?

Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO com as condições iniciais dadas

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

x + 1 y ' ' - 2 - x y ' + y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n - 1 + ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 c n . x n - 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ n . c n . x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ n c n . x n + ∑ n = 0 ∞ c n . x n

Para a primeira somatória, usando as técnicas que vimos na seção anterior, temos k = n - 1 , na segunda somatória temos k = n - 2 , na terceira somatória temos k = n - 1 e na quarta somatória e na quinta temos k = n . Então isso vai ficar assim olha:

x + 1 y ' ' - 2 - x y ' + y = ∑ k = 1 ∞ ( k + 1 ) . k . c k + 1 . x k + ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 c k + 2 . x k - 2 ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) . c k + 1 . x k + ∑ k = 1 ∞ k c k . x k + ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Agora vamos lá desenvolver isso aí

Passo 2

Onde paramos mesmo?

x + 1 y ' ' - 2 - x y ' + y = ∑ k = 1 ∞ ( k + 1 ) . k . c k + 1 . x k + ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 c k + 2 . x k - 2 ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) . c k + 1 . x k + ∑ k = 1 ∞ k c k . x k + ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Aee, beleza

Olha lá, desenvolvendo essas somatórias, temos

x + 1 y ' ' - 2 - x y ' + y = ∑ k = 1 ∞ k + 2 k + 1 . c k + 2 - k + 1 c k + 1 + k + 1 c k x k + 2 c 2 - 2 c 1 + c 0

Gente do céu que monstrinho é esse

Vamos organizar isso aí

Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:

2 c 2 - 2 c 1 + c 0 = 0

k + 2 k + 1 . c k + 2 - k + 1 c k + 1 + k + 1 c k = 0

Belezinha, então, a gente pode dizer que:

c 2 = c 1 - c 0 2

E também:

c k + 2 = c k + 1 k + 2 - c k ( k + 2 ) ,   k = 1,2 , 3 …

Agora vamos escolher valores de constantes beleza?

Passo 3

Temos:

c 2 = c 1 - c 0 2

c k + 2 = c k + 1 k + 2 - c k ( k + 2 ) ,   k = 1,2 , 3 …

Fazendo c 0 = 1 e c 1 = 0 , temos:

c 2 = - 1 2

c 3 = - 1 6

E fazendo c 0 = 0 e c 1 = 1 , temos

c 2 = 1

c 3 = 0

Então já temos uma solução, que é

y 1 = C 1 1 - 1 2 x 2 - 1 6 x 3 + … + C 2 . x + x 2 + …

Aplicando as condições iniciais do problema, encontramos

C 1 = 2

C 2 = - 1

Então

y 1 = 2 1 - 1 2 x 2 - 1 6 x 3 + … - x + x 2 + …

Ufaaa, e fim!!

Resposta

y 1 = 2 1 - 1 2 x 2 - 1 6 x 3 + … - x + x 2 + …

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