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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 34

Usando o método do Problema 33 e a solução particular dada, resolva cada uma das equações de Riccati a seguir:

  1. y ' = 1 + t 2 - 2 t y + y 2 ;     y 1 t = t
  2. y ' = - 1 t 2 - y t + y 2 ;     y 1 t = 1 t
  3. d y d t = 2 ⋅ cos 2 ⁡ t - sin 2 ⁡ t + y 2 2 cos ⁡ t ;     y 1 t = sin ⁡ t

Passo 1

Nesse exercício, vamos primeiramente supor uma solução y 1 para a equação de Riccati e após isso aplicaremos a substituição sugerida pelo enunciado para verificarmos se a equação é satisfeita ou não.

Passo 2

  1. Temos que uma solução possível, usando a mesma ideia do exercício anterior, é dada por:

    2. y = t + 1 v

    Usando o resultado do exercício 33, temos que

    v ' = - q 2 + 2 q 3 y 1 v - q 3

    Substituindo os valores com base na forma da equação, teremos que

    v ' = - - 2 t + 2 ⋅ 1 ⋅ t v - 1

    v ' = - 1

    v = - t + C

    Voltando para nossa suposição de solução, vamos ter que

    y = t + 1 C - t = t + C + t - 1

    Sendo essa nossa solução.

    Passo 3

  2. Temos que uma solução possível, usando a mesma ideia do exercício anterior, é dada por:

    3. y = 1 t + 1 v

    Usando o resultado do exercício 33, temos que

    v ' = - q 2 + 2 q 3 y 1 v - q 3

    Substituindo os valores com base na forma da equação, teremos que

    v ' = - - 1 t + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 t v - 1

    v ' = - 1 t v - 1

    t v ' = - v - t

    t v ' + v = - t

    t v ' = - t

    Integrando de ambos os lados, vamos chegar que

    v = - t 2 + C t

    Voltando para nossa suposição de solução, vamos ter que

    y = 1 t + 1 - t 2 + C t = 1 t + 1 - t 2 2 t + 2 C 2 t = 1 t + 2 t 2 C - t 2

    Sendo essa nossa solução.

    Passo 4

  3. Temos que uma solução possível, usando a mesma ideia do exercício anterior, é dada por:

y = sin ⁡ t + 1 v

Usando o resultado do exercício 33, temos que

v ' = - q 2 + 2 q 3 y 1 v - q 3

Substituindo os valores com base na forma da equação, teremos que

v ' = - 0 + 2 ⋅ 1 2 ⋅ cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t v - 1 2 ⋅ cos ⁡ t

v ' = - tan ⁡ t v - 1 2 ⋅ cos ⁡ t

Utilizando um fator integrante de μ t = 1 cos ⁡ t , chegamos que.

v ' cos ⁡ t = - tan ⁡ t ⋅ v cos ⁡ t - 1 2 ⋅ cos 2 ⁡ t

v ' cos ⁡ t + sin ⁡ t cos 2 ⁡ t ⋅ v = - 1 2 cos 2 ⁡ t

v cos ⁡ t ' = - 1 2 cos 2 ⁡ t

Integrando de ambos os lados, vamos chegar que

v = C ⋅ cos ⁡ t - 1 2 sin ⁡ t

Voltando para nossa suposição de solução, vamos ter que

y = sin ⁡ t + 1 C ⋅ cos ⁡ t - 1 2 sin ⁡ t = sin ⁡ t + C ⋅ cos ⁡ t - 1 2 ⋅ sin ⁡ t - 1

Sendo essa nossa solução.

Resposta

  1. y = t + C + t - 1
  2. y = 1 t + 2 t 2 C - t 2
  3. y = sin ⁡ t + C ⋅ cos ⁡ t - 1 2 ⋅ sin ⁡ t - 1
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