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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 35

A propagação de uma única ação em uma população grande (por exemplo, motoristas ligando os faróis ao pôr do sol) muitas vezes depende parcialmente de circunstâncisas externas (o escurecer) e parcialmente de uma tendência de imitar os outros que já executaram a ação em questão. Nesse caso, a proporção y t de pessoas que já executaram a ação pode ser descrita pela equação

d y d t = 1 - y ⋅ x t + b y ,

em que x t mede o estímulo externo, e b é o coeficiente de imitação.

  1. Note que a Eq. (i) é uma equação de Riccati e que y 1 t = 1 é uma solução. Use a transformação no Problema 33 e enontre a equação linear satisfeita por v t .
  2. Encontre v t no caso em que x t = a t , em que a é uma constante. Deixe sua resposta em forma integral.

Passo 1

Nesse exercício, vamos utilizar a sugestão do enunciado e aplicar a transformação mostrada nos exercícios anteriores para resolver a equação de Riccati.

Passo 2

  1. Vamos lá! Bom, primeiro vamos supor que a solução é dada por

    2. y = 1 + 1 v

    Se derivarmos essa expressão, vamos chegar que

    y ' = - 1 v 2 ⋅ v ' = 1 - y ⋅ x t + b y =

    = 1 - 1 - 1 v ⋅ x t + b 1 + 1 v = - 1 v ⋅ x - 1 v ⋅ b - 1 v 2 b =

    Manipulando a expressão, vamos chegando em:

    v ' = - v 2 - 1 v ⋅ x - 1 v ⋅ b - 1 v 2 b = v ⋅ x + v ⋅ b + b = b + x v + b

    Sendo essa a equação diferencial satisfeita por v t .

    Passo 3

  2. Bom, como x = a t , temos que

v ' = b + a t v + b

v ' - b + a t v = b

Usando o fator integrante, onde

μ t = e - ∫ p t d t = e - b t - a 2 t 2

Agora multiplicando toda a expressão por esse termo, vamos ter que:

e - b t - a 2 t 2 ⋅ v ' - e - b t - a 2 t 2 ⋅ b + a t ⋅ v = e - b t - a 2 t 2 ⋅ b

Outra forma de escrever é da seguinte forma:

v ⋅ e - b t - a 2 t 2 ' = b ⋅ e - b t - a 2 t 2

Agora integrando de ambos os lados, vamos chegar que

v ⋅ e - b t - a 2 t 2 = ∫ b ⋅ e - b t - a 2 t 2 d t + C

Chegando, finalmente em

v = 1 e - b t - a 2 t 2 ⋅ ∫ b ⋅ e - b t - a 2 t 2 d t + C

Resposta

  1. v ' = b + x v + b
  2. v = 1 e - b t - a 2 t 2 ⋅ ∫ b ⋅ e - b t - a 2 t 2 d t + C
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