Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x   d x + ( y - 2 x )   d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

x   d x + ( y - 2 x )   d y = 0

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

v y   v   d y + y   d v + y - 2 v y d y = 0

v 2 y   d y + v y 2 d v + y d y - 2 v y   d y = 0  

v 2 d y + v y   d v + d y - 2 v   d y = 0

v 2 - 2 v + 1 d y = - v y   d v

v - 1 2 d y = - v y   d v

d y y =   - v v - 1 2   d v

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d y y = ∫ - v v - 1 2   d v

ln ⁡ y = - ln ⁡ v - 1 + 1 v - 1 + C

ln ⁡ y v - 1 - 1 v - 1 = C

E como x = v y → v = x y , temos:

ln ⁡ y y x - 1 - 1 x y - 1 = C

ln ⁡ y 2 x - y - y x - y = C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

ln ⁡ y 2 x - y - y x - y = C

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