Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(x^2 * e^(-y/x) + y^2) dx = xy dy

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x 2 e - y x + y 2 d x = x y   d y

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x 2 e - y x + y 2 d x = x y   d y

x 2 e - u x x + u 2 x 2 d x = u x 2 u   d x + x   d u

x 2 e - u d x + u 2 x 2 d x = u 2 x 2 d x + u x 3 d u

x 2 e - u d x = u x 3 d u

e - u d x = u x   d u

1 e u d x = u x   d u

d x x = u e u d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ 1 x d x = ∫ u e u d u

ln ⁡ | x | = u e u - e u + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | = y x e y x - e y x + C  

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

ln ⁡ | x | = y x e y x - e y x + C  

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